Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор ${\displaystyle U}$ : ${\displaystyle H}$ → ${\displaystyle H}$ на гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$, который удовлетворяет соотношению

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

где ${\displaystyle U^{*}}$ — эрмитово сопряжённый к ${\displaystyle U}$ оператор, и ${\displaystyle I}$ : ${\displaystyle H}$ → ${\displaystyle H}$ единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

1. ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть для всех векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .}$
2. ${\displaystyle U}$ — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

1. ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение, и
2. образ ${\displaystyle U}$ — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что ${\displaystyle U}$ изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение. Образ ${\displaystyle U}$ — плотное множество. Очевидно, что ${\displaystyle U^{-1}}$ = ${\displaystyle U^{*}}$.

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I}$

где I единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

• оператор унитарного преобразования всегда обратим
• если оператор ${\displaystyle {\hat {H}}}$ эрмитов, то оператор ${\displaystyle {\hat {U}}=\exp(i{\hat {H}})}$ унитарен.